Ejemplos:

hallar la derivada de las siguientes funciones:

1. y = x³

Solucion. dy =  d  (x³) = 3 x²

              dx      dx

              

2. y= ax^4 - bx²

Solucion. dy = d (ax^4 - bx²) = d (x^4) - d (bx²)

              dx    dx                   dx         dx

               

               = a  d  (x^4)  - b  d  (x²)

                     dx               dx 

               = 4 ax³ - 2 bx

3. y = x^4/³ + 5

Solucion. dy = d  (x^4/³) + d  (5)

              dx    dx            dx

             = /³  x ¹/³.

4. y = (x²-3) x^5

Solucion. dy = 5(x²-3) x^4 d  (x²-3)

              dx                    dx

                  

                [ v =  x²-3 y n=5 ]

                   = 5 (x² - 3)  ^4.2 x = 10 x (x²-3)^4

Derivadas de Funciones Trigonometricas Directas e Inversas

Funciones Directas 


1. d (sen v) = cos v dv
    dx                        dx


2. d (cos v) = -sen v dv
    dx                         dx


3. d (tg v) = sec2 v dv
   dx                      dx


4. d (ctgv) = - csc2 v dv
    dx                         dx


5. d (sec v)= tgv Secv dv
    dx                           dx


Funciones Inversas

para derivar la función arc cos(2x+1) utilizaremos la fórmula

por lo que

con la restricción   

 Finalmente la solución es:

b)      Solución

pero  

entonces basta con poner la restricción   y aplicar la fórmula

2.- Obtener la derivada de la función F(x) cuando y graficar la solución

a) 

b)  con k₁ y k constantes

a). Solución

Derivadas Logaritmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos.

2 

3 

4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

Logaritmo de una multiplicación

1El logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Logaritmo de una división

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Logaritmo de una potencia

3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Logaritmo de una raíz

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita,como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente: .

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Ejemplo 4:

Hallar , de la función implícita:

Solución:

Primero,

segundo,

ahora el cociente,

acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:

Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita.